Петербургская школа геометрии и топологии Александрова-Рохлина

Математико-механический факультет

Кафедра высшей геометрии

Направления научных исследований, проводимых в рамках научно-педагогической школы.

по рубрикатору ГРНТИ:

27.21.17 - Алгебраические и аналитические методы в геометрии; 27.19.19 - Топология многообразий.

по рубрикатору ВАК:

01.01.04 - геометрия и топология

Основатели научно-педагогической школы:

Александров Александр Данилович, д.ф-м.н., проф., академик РАН (АН СССР; с 1964; чл.-корр. с 1946), Член Национальной Итальянской академии наук сорока (1975), заслуженный деятель науки

Рохлин Владимир Абрамович, д.ф-м.н., проф.

Основные научные труды основателей школы:

А.Д.Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948;

А.Д.Александров, В.А.Залгаллер, Двумерные многообразия ограниченной кривизны, Труды МИАН, т.6, 1962;

А.Д.Александров, Основания геометрии, М., Наука, 1987.

В.А.Рохлин, Д.Б.Фукс, Начальный курс топологии: геометрические главы, М., Наука, 1977;

В.А.Рохлин, Гомотопические группы // Успехи математических наук, 1946, вып.5/6, с.175-223;

В.А.Рохлин, М.Л.Громов, Вложения и погружения в римановой геометрии // Успехи математических наук, 1970, вып.5, с.3-62.

Руководители научно-педагогической школы:

Нецветаев Никита Юрьевич, д.ф-м.н., доцент, зав. кафедрой высшей геометрии

Бураго Юрий Дмитриевич, д.ф-м.н., проф., в.н.с. ПОМИ им. В.А. Стеклова РАН

Основные научные труды, в которых отражены достижения научно-педагогической школы:

N.Netsvetaev, Diffeomorphism criteria for simply connected even-dimensional manifolds, Advances in Soviet Mathematics, v.18, 1994, 235-243.

N.Yu.Netsvetaev, Homology and cohomology of hupersurfaces with quadratic singular points in generic position. American Mathematical Society Translations (2), 1996, 229-233.

А.Д.Александров, Н.Ю.Нецветаев. Геометрия. (Учебное пособие для вузов). М.: Наука, 1990. 672 с.

Ю.Д.Бураго, В.А.Залгаллер, Геометрические неравенства, Л.: Наука, 1980;

Ю.Д.Бураго, В.А.Залгаллер, Введение в риманову геометрию, СПб: Наука, 1994;

Ю.Д.Бураго, М.Громов, Г.Перельман, Пространства с ограниченными снизу кривизнами // УМН, 1992, т.47, вып.2, с.3-51.

Коллектив научно-педагогической школы:

Состав коллектива - 18 человек; из них д.ф.-м.н. - 5, д.пед.н. - 1, к.ф.-м.н. - 7, к.пед.н. - 1.

Основные научные результаты, полученные в течение последних пяти лет:

Изучены топологические и метрические свойства римановых многообразий неположительной кривизны. В связи с проблемой Терстена о геометризации дан новый подход и полностью решена проблема метрической и конформной геометризации граф-многообразий. Установлено точное соответствие между метриками неположительной кривизны на трехмерных граф-многообразиях - с одной стороны, и полевыми конфигурациями на графах, являющимися аналогами конфигураций классической электродинамики, - с другой.

Найдена полная характеризация метрик ограниченной сверху кривизны как получаемых склеиванием из двумерных многообразий ограниченной сверху кривизны вдоль кривых с конечной вариацией поворота. Показано, что этот класс метрических пространств замкнут относительно равномерной сходимости и является замыканием соответствующего класса кусочно-гладких метрик.

На основе разработанных топологических методов в теории выпуклых тел доказано, что вокруг любого выпуклого тела в трехмерном пространстве можно описать аффинный образ ромбододекаэдра. Из этого результата получена новая рекордная оценка в трехмерной проблеме Борсука о существании разбиения выпуклого тела на 4 части меньшего диаметра.

Доказано, что асимптотическая изопериметрическая константа

плоской метрики накрывающего пространства риманова тора является минимально возможной в размерности 2, а также в классе конформно плоских метрик в произвольной размерности. В размерностях, начиная с 3, построены примеры метрик со сколь угодно малыми асимптотическими изопериметрическими константами. Кроме того показано, что в двумерном случае асимптотическая изопериметрическая константа однозначно определяется ростом объемов и изопериметрической константой стабильной нормы.

Дана явная формула для экспоненциального отображения грассмановых многообразий на основе их плюккеровой модели. Выяснено строение замыкания произвольной геодезической, тем самым в частности, получено доказательство теоремы, ранее аннонсированной Вонгом.

Получена топологическая классификация комплексных проективных гиперповерхностей с изолированными (квадратичными) особенностями. Решена проблема Хирцебруха о геометрической интерпретации соотношения для виртуальной сигнатуры.

Полученное новое доказательство теоремы Серра конечности стабильных гомотопических групп сфер, не использующее ни пространств петель, ни спектральных последовательностей, а основанное на новом теоретико-гомотопическом подходе.

Все полученные результаты опубликованы в ведущих отечественных и зарубежных научных журналах и докладывались на международных конференциях.

Направление подготовки бакалавров и магистров, проводимой в рамках научно-педагогической школы:

Подготовка специалистов - научных работников в области современных методов в геометрии и топологии.

198904, С-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет СПбГУ,

Телефон (812) 428-42-07

E-mail nyun@pdmi.ras.ru